A origem das Catapultas

A origem das catapultas é atribuída a Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) que supostamente é autor da célebre frase “Deem-me uma alavanca e deslocarei o mundo”. Utilizando o princípio da alavanca, foram construídas catapultas que ajudaram a manter os romanos afastados de Siracusa, na Sicília, terra natal de Arquimedes. Neste trabalho vamos dar especial ênfase não ao funcionamento da catapulta, mas sim ao movimento do objeto disparado.
De forma a entender o movimento do projétil (o objeto que é atirado pela catapulta), é necessário saber que o projétil se move segundo um arco (parábola), o que torna os cálculos um pouco mais complexos, mas não impossíveis. Com algumas contas podemos determinar a distância que o projétil pode atingir, o tempo que ele leva a chegar a esse ponto ou mesmo a altura que ele pode atingir.
Para determinar o alcance do projétil (representado na equação por D) basta usar a equação:

D = vO2.sen(2α/g) (1)

Onde vO2 é o quadrado da velocidade com que a catapulta lança o projétil, sem é uma função trigonométrica que podem encontrar numa máquina de calcular científica, α é o ângulo de saída do projétil, isto é, o ângulo entre a direção que o projétil leva quando sai da catapulta e a horizontal (o chão) e g é a aceleração da gravidade, que é a força que nos prende à Terra e que não nos deixa levantar voo quando saltamos e tem o valor de 9,8 m/s2.
Por exemplo, se quisermos determinar a altura máxima (heart) que o projétil atinge, basta utilizar a expressão:

h = vO2.sen2(α/(2g)) (2)

Finalmente, para determinar o tempo que o projétil leva desde o seu lançamento até que atinge o alcance máximo, basta utilizar a equação seguinte:

t = (2.vO/g).sen(α) (3)

Devo referir que esta equação é válida quando o ponto de lançamento e o ponto de alcance máximo estão à mesma altura. Se o ponto onde o projétil cai é um pouco mais baixo, este demora mais umas frações de segundo, se estiver mais alto, demora menos umas frações de segundo.
Em qualquer um dos cálculos, podemos ver que os únicos fatores que influenciam a distância e a altura alcançadas e o tempo de voo são a velocidade inicial e o ângulo de saída do projétil. Esta constatação pode levar-nos a pensar que o peso (massa) do objeto a ser atirado não tem influencia, o que não é completamente verdade, como podemos observar no nosso dia a dia. Conseguimos atirar para mais longe uma pedrinha do que um calhau pesado, mas isso deve-se ao facto de não conseguirmos aplicar a mesma velocidade inicial no objeto, isto é, a catapulta atira a pedra mais pesada com uma velocidade menor que uma pedra mais leve.


Já agora mais um pormenor. Não é fácil determinar a velocidade inicial com que a catapulta lança o projétil, mas se, por exemplo, realizarem um lançamento e medirem o tempo de voo e o ângulo de saída, podem determinar a velocidade de projeção e assim calcular os restantes valores.